Question

9．設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點，P是以F₁F₂為直徑的圓和橢圓的一個交點，若∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，則橢圓的離心率等于$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意和圓的性質(zhì)可判斷出△PF₁F₂為直角三角形，根據(jù)∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，推斷出∠PF₁F₂=60°，進(jìn)而可求得PF₁和PF₂，再利用橢圓的定義求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．

解答 解：由題意△PF₁F₂為直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=60°，F(xiàn)₁F₂=2c，
∴PF₁=c，PF₂=$\sqrt{3}$c，
由橢圓的定義知，PF₁+PF₂=c+$\sqrt{3}$c=2a，
∴離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．橢圓的離心率是橢圓基本知識中重要的內(nèi)容，求離心率的關(guān)鍵是通過挖掘題設(shè)信息求得a和c的關(guān)系，是中檔題．