Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a的極大值為2．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）在[b，b+1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)先求導(dǎo)數(shù)，并且得到函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，判定兩側(cè)的單調(diào)性，得到極大值點(diǎn)，代入得到極大值，求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)（1）的單調(diào)區(qū)間，討論極值點(diǎn)與區(qū)間[b，b+1]的關(guān)系，從而得到區(qū)間的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性討論函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）依題意：f′（x）=x²-4x+3=（x-3）（x-1），
所以f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極大值，即f（1）=$\frac{1}{3}$-2+3-a=2，
解得：a=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
①當(dāng)b+1≤1，即b≤0時(shí)，f（x）在[b，b+1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b+1）=$\frac{^{3}}{3}$-b²+2；
②當(dāng)b≤1＜b+1，即0＜b≤1時(shí)，f（x）在[b，1]上單調(diào)遞增，在[1，b+1]上單調(diào)遞減，
f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（1）=2；
③當(dāng)b＞1且b+1≤3，即1＜b≤2時(shí)，f（x）在[b，b+1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b）=$\frac{^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$；
④當(dāng)3＜b+1，即b＞2時(shí)，令f（b）=f（b+1），得b=$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$或b=$\frac{9-\sqrt{33}}{6}$（舍去）
當(dāng)2＜b≤$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時(shí)，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b）=$\frac{^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$；
當(dāng)b＞$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時(shí)，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b+1）=$\frac{^{3}}{3}$-b²+2；
綜上可知：
當(dāng)b≤0或b＞$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時(shí)，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b+1）=$\frac{^{3}}{3}$-b²+2；
當(dāng)0＜b≤1時(shí)，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（1）=2；
當(dāng)1＜b≤$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時(shí)，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b）=$\frac{^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．