Question

7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)關(guān)于x的方程f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出，
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義將不等式化為：f（t²-2t）＜f（-2t²+k），再分離函數(shù)解析式，利用指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出此函數(shù)的單調(diào)性，再列出關(guān)于x的不等式，由題意轉(zhuǎn)化為：3t²-2t-k＞0恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價(jià)不等式求解．
（3）先將原方程變?yōu)閎=4^x-2^x+1，再利用整體思想將2^x看成整體，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-1+a•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x）=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$，
∴a=1，
（2）由（1）可知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
從而不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
∵f（x）是減函數(shù)，由上式推得t²-2t＞-2t²+k，
即對一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得k＜-$\frac{1}{3}$，
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0，
∴f（4^x-b）=f（2^x+1），
∴4^x-b=2^x+1，
∴b=4^x-2^x+1，
∵4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
∴當(dāng)b∈[-1，+∞）時方程有實(shí)數(shù)解

點(diǎn)評 本題主要考查了奇函數(shù)的定義的靈活應(yīng)用，以及分離常數(shù)法，復(fù)合函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，較綜合，屬于中檔題．