Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）+f（x₂）|≤k恒成立，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f′（x）=e^x+2x-1，x∈[-1，1]．令g（x）=e^x+2x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）+f（x₂）|≤k恒成立?|2f（x）|_max≤k，x∈[-1，1]．

解答： 解：f′（x）=e^x+2x-1，x∈[-1，1]．
令g（x）=e^x+2x-1，
則g′（x）=e^x+2＞0，x∈[-1，1]．
∴g（x）在x∈[-1，1]單調(diào)遞增．
g（-1）=e^-1-3＜0，g（1）=e+1＞0．
而g（0）=0．
∴當x∈[-1，0）時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當x∈（0，1]時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴當x=0時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（0）=0．
∴f′（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]單調(diào)遞增．
f（-1）=2-e^-1，f（1）=e．
∴對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）+f（x₂）|≤k恒成立?|2f（x）|_max≤k，x∈[-1，1]．
∴k≥2e．
∴k的取值范圍為[2e，+∞）．
故答案為：[2e，+∞）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．