Question

12．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0），直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（2，2）．
（1）求拋物線的C的方程；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則拋物線方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合線段AB的中點(diǎn)為M的坐標(biāo)得答案．

解答 解：（1）依題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵焦點(diǎn)為F（1，0），∴$\frac{p}{2}=1$，得p=2．
∴所求拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)直線l的方程為x-2=t（y-2），與拋物線y²=4x聯(lián)立，
得y²=8+4ty-8t，∴y²-4ty+8t-8=0．
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y_A+y_B=4t，又AB的中點(diǎn)（2，2），
∴4t=2×2，解得t=1．
∴直線l的方程為：x-y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．