Question

過(guò)雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

8

=1的右焦點(diǎn)作一直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=8，則這樣的直線(xiàn)l共有（　�。�條？

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：先看當(dāng)A、B都在右支上時(shí)，若AB垂直x軸，根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，把焦點(diǎn)橫坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)等于8，則即為垂直于x軸的一條；再看若A、B分別在兩支先看A，B為兩頂點(diǎn)時(shí)，不符合題意進(jìn)而可推斷出符合題意的直線(xiàn)有兩條，最后綜合可得答案．

解答： 解：①若A、B都在右支，
若AB垂直x軸，a²=4，b²=8，c²=12，所以F（2

3

，0）
則AB：x=2

3

，
代入雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

8

=1，求得y=±4，所以AB=|y₁-y₂|=8，
所以|AB|=8的有一條，即垂直于x軸；
②若A、B分別在兩支
a=2，所以頂點(diǎn)距離為2+2=4＜8，所以|AB|=8有兩條，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
所以一共3條
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系．考查了學(xué)生分析推理和分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．