【題目】對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列,記,給出下列定義:
①若存在實數(shù),使成立,則稱數(shù)列為“有上界數(shù)列”;
②若數(shù)列為有上界數(shù)列,且存在,使成立,則稱數(shù)列為“有最大值數(shù)列”;
③若,則稱數(shù)列為“比減小數(shù)列”.
(1)根據(jù)上述定義,判斷數(shù)列是何種數(shù)列?
(2)若數(shù)列中,,,求證:數(shù)列既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列;
(3)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,且是有上界數(shù)列,但不是有最大值數(shù)列,求證:,.
【答案】(1)既是有上界數(shù)列,又是有最大值數(shù)列;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)由,,得,,由此得到數(shù)列既是有上界數(shù)列,又是有最大值數(shù)列.
(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,再證明..然后證明,由此得到數(shù)列既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列.
(3)假設(shè)對于,,由此推導(dǎo)出無窮數(shù)列不是有上界數(shù)列,與已知矛盾,假設(shè)不成立,從而得到對于數(shù)列,,.
解:(1)由題意知,,
,
,且存在,,
所以數(shù)列既是有上界數(shù)列,又是有最大值數(shù)列.
(2)數(shù)列中,,,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,
①,命題;
②假設(shè)時命題成立,即,
當(dāng)時,,
,
所以,當(dāng)時,命題成立,即.
下面證明.
.
因為,所以,即.
由,,
兩式相除得:,,
所以,,,
即.
下面證明,
即需證明,即需證明,
而已證明成立,
所以,
即,,
所以,數(shù)列既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列.
(3)用反證法,假設(shè)對于,,
即,
因為無窮數(shù)列各項為正且單調(diào)遞增,所以.
,
所以.當(dāng)時,
,所以無窮數(shù)列不是有上界數(shù)列,與已知矛盾,假設(shè)不成立,
因此,對于數(shù)列,,.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,都有成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)試問過點可作多少條直線與曲線相切?并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率,他從單位圓內(nèi)接正六邊形算起,令邊數(shù)一倍一倍地增加,即12,24,48,…,192,…,逐個算出正六邊形,正十二邊形,正二十四邊形,…,正一百九十二邊形,…的面積,這些數(shù)值逐步地逼近圓面積,劉徽算到了正一百九十二邊形,這時候的近似值是3.141024,劉徽稱這個方法為“割圓術(shù)”,并且把“割圓術(shù)”的特點概括為“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”.劉徽這種想法的可貴之處在于用已知的、可求的來逼近未知的、要求的,用有限來逼近無窮,這種思想極其重要,對后世產(chǎn)生了巨大影響.按照上面“割圓術(shù)”,用正二十四邊形來估算圓周率,則的近似值是( )(精確到).(參考數(shù)據(jù))
A.3.14B.3.11C.3.10D.3.05
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①,,②,,③,三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面問題中,并加以解答.
已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,______,求的面積S.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg ,f(1)=0,當(dāng)x>0時,恒有f(x)=lgx.
(1)若不等式f(x)≤lgt的解集為A,且A(0,4],求實數(shù)t的取值范圍;
(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集為,求實數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形是等腰梯形,,,,為的中點.將沿折起,如圖2,點是棱上的點.
(1)若為的中點,證明:平面平面;
(2)若,試確定的位置,使二面角的余弦值等于.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年11月18日國際射聯(lián)步手槍世界杯總決賽在莆田市綜合體育館開幕,這是國際射聯(lián)步手槍世界杯總決賽時隔10年再度走進(jìn)中國.為了增強(qiáng)趣味性,并實時播報現(xiàn)場賽況,我,F(xiàn)場小記者李明和播報小記者王華設(shè)計了一套播報轉(zhuǎn)碼法,發(fā)送方由明文→密文(加密),接受方由密文→明文(解密),已知加密的方法是:密碼把英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的的26個字母(不論大小寫)依次對應(yīng)1,2,3,…,26這26個自然數(shù)通過變換公式:,將明文轉(zhuǎn)換成密文,如,即變換成,即變換成.若按上述規(guī)定,若王華收到的密文是,那么原來的明文是( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com