Question

【題目】在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，可證，再證，即可得到平面平面，從而得證；

（Ⅱ）不妨設(shè)，則，可證平面，從而得到平面平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

則平面，所以是直線與平面所成的角，最后根據(jù)余弦定理及三角函數(shù)的定義計(jì)算可得；

（Ⅰ）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

由題意得，所以，因?yàn)?/span>面，面，

所以面，

又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，，

所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，故，

因?yàn)?/span>面，面，

所以面，

又因?yàn)?/span>，面，面，

所以平面平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面．

（Ⅱ）不妨設(shè)，則，

所以，即，又因?yàn)?/span>且，平面，平面，

所以平面，

又平面，故平面平面．因?yàn)槠矫?/span>平面，

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

則平面，所以是直線與平面所成的角．

在中，，所以，

在中，，由余弦定理得，

在中，，所以直線與平面所成角的正切值為．