【題目】對于數列,定義, .
(1) 若,是否存在,使得?請說明理由;
(2) 若, ,求數列的通項公式;
(3) 令,求證:“為等差數列”的充要條件是“的前4項為等差數列,且為等差數列”.
【答案】(1)不存在(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由題意知數列為遞增數列,計算出數列的和與可得結果;(2)根據,可得,故可得,即數列, 均為公比為6的等比數列,可得其通項公式;(3)將題意轉化為,先證必要性:設,其中為常數,可得,得結果,再證充分性:利用數學歸納法證得結果.
試題解析:(1)由,可知數列為遞增數列, 計算得, ,所以不存在,使得;
(2)由,可以得到當時,
,
又因為,所以, 進而得到, 兩式相除得,所以數列, 均為公比為6的等比數列,
由,得,所以;
(3)證明:由題意,
當時, ,
因此,對任意,都有.
必要性():若為等差數列,不妨設,其中為常數,
顯然,
由于=,
所以對于, 為常數,
故為等差數列;
充分性():由于的前4項為等差數列,不妨設公差為
當時,有成立
假設時為等差數列,
即
當時,由為等差數列,得,
即: ,
所以
,
因此,
綜上所述:數列為等差數列.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點,為線段上的動點.
(1)平面與平面是否互相垂直?如果垂直,請證明;如果不垂直,請說明理由.
(2)若,為線段的三等分點,求多面體的體積.
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【題目】為了提高學生的身體素質,某校高一、高二兩個年級共336名學生同時參與了“我運動,我健康,我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學生的運動狀況,采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學生中分別抽取7名和5名學生進行測試.下表是高二年級的5名學生的測試數據(單位:個/分鐘):
(1)求高一、高二兩個年級各有多少人?
(2)設某學生跳繩個/分鐘,踢毽個/分鐘.當,且時,稱該學生為“運動達人”.
①從高二年級的學生中任選一人,試估計該學生為“運動達人”的概率;
②從高二年級抽出的上述5名學生中,隨機抽取3人,求抽取的3名學生中為“運動達人”的人數的分布列和數學期望.
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【題目】已知函數.
(1)求函數的定義域D,并判斷的奇偶性;
(2)如果當時,的值域是,求a的值;
(3)對任意的m,,是否存在,使得,若存在,求出t,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓:的左頂點為,右焦點為,斜率為1的直線與橢圓交于,兩點,且,其中為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設過點且與直線平行的直線與橢圓交于,兩點,若點滿足,且與橢圓的另一個交點為,求的值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD,,,,E為AD的中點,AC與BE相交于點O.
(1)證明:平面ABCD.
(2)求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.
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【題目】已知函數滿足,對于任意都有,且,另
(1)求函數的表達式;
(2)當時,求函數的單調區(qū)間;
(3)當時,判斷函數在區(qū)間上的零點個數,并給予證明.
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【題目】“團購”已經滲透到我們每個人的生活,這離不開快遞行業(yè)的發(fā)展,下表是2013-2017年全國快遞業(yè)務量(x億件:精確到0.1)及其增長速度(y%)的數據
(1)試計算2012年的快遞業(yè)務量;
(2)分別將2013年,2014年,…,2017年記成年的序號t:1,2,3,4,5;現已知y與t具有線性相關關系,試建立y關于t的回歸直線方程;
(3)根據(2)問中所建立的回歸直線方程,估算2019年的快遞業(yè)務量
附:回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為:,
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【題目】已知橢圓C:=1(a>b>0),點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點,直線AB與圓G:x2+y2=(c是橢圓的半焦距)相離,P是直線AB上一動點,過點P作圓G的兩切線,切點分別為M、N.
(1)若橢圓C經過兩點、,求橢圓C的方程;
(2)當c為定值時,求證:直線MN經過一定點E,并求·的值(O是坐標原點);
(3)若存在點P使得△PMN為正三角形,試求橢圓離心率的取值范圍..
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