Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（3）若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的極小值為，無(wú)極大值；

（2）①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；

③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

（3）.

【解析】

試題分析：第一問(wèn)，將代入中確定函數(shù)的解析式，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時(shí)，函數(shù)有極小值，但無(wú)極大值，在解題過(guò)程中，注意函數(shù)的定義域；第二問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對(duì)和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問(wèn)，由第二問(wèn)可知，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來(lái)，因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，，又是一個(gè)恒成立，整理表達(dá)式，即對(duì)任意恒成立，所以再求即可.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， 1分

由,解得. 2分

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). 3分

∴的極小值為，無(wú)極大值. 4分

（2）. 5分

①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； 6分

②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)； 8分

③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). 8分

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是減函數(shù)，

∴. 9分

由對(duì)任意的恒成立，

∴ 10分

即對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立， 11分

由于當(dāng)時(shí)，，∴. 12分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.不等式的性質(zhì).