Question

設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意整數(shù)k∈M，當(dāng)整數(shù)n＞k時(shí)，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立
（1）設(shè)M={1}，a₂=2，求a₅的值；
（2）設(shè)M={3，4}，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由集合M的元素只有一個(gè)1，得到k=1，所以當(dāng)n大于1即n大于等于2時(shí)，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，變形后，利用S_n+1-S_n=a_n+1，及a₁=1化簡，得到當(dāng)n大于等于2時(shí)，此數(shù)列除去首項(xiàng)后為一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)第2項(xiàng)的值和確定出的等差寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，因?yàn)?大于2，所以把n=5代入通項(xiàng)公式即可求出第5項(xiàng)的值；
（2）當(dāng)n大于k時(shí)，根據(jù)題意可得S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k），記作①，把n換為n+1，得到一個(gè)關(guān)系式記作②，②-①后，移項(xiàng)變形后，又k等于3或4得到當(dāng)n大于等于8時(shí)此數(shù)列每隔3項(xiàng)或4項(xiàng)成等差數(shù)列，即a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到一個(gè)關(guān)系式，記作（*），且a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等差數(shù)列，又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到另外一個(gè)關(guān)系式，等量代換得到a_n+2-a_n=a_n-a_n-2，得到當(dāng)n大于等于9時(shí)，每隔兩項(xiàng)成等差數(shù)列，設(shè)出等差數(shù)列的四項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡變形，設(shè)d=a_n-a_n-1，從而得到當(dāng)n大于等于2小于等于8時(shí)，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一個(gè)關(guān)系式，同時(shí)把n+7也代入（*）得到另外一個(gè)關(guān)系式，兩者相減后根據(jù)設(shè)出的d=a_n-a_n-1，經(jīng)過計(jì)算后，得到n大于等于2時(shí)，d=a_n-a_n-1都成立，從而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化簡后得到d與前3項(xiàng)的和及d與前4項(xiàng)和的關(guān)系式，兩關(guān)系式相減即可表示出第4項(xiàng)的值，根據(jù)d=a_n-a_n-1，同理表示出第3項(xiàng)，第2項(xiàng)及第1項(xiàng)，得到此數(shù)列為等差數(shù)列，由首項(xiàng)等于1即可求出d的值，根據(jù)首項(xiàng)和等差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．

解答：解：（1）由M={1}，根據(jù)題意可知k=1，所以n≥2時(shí)，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁），
即（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=2S₁，又a₁=1，
則a_n+1-a_n=2a₁=2，又a₂=2，
所以數(shù)列{a_n}除去首項(xiàng)后，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₂+2（n-2）=2n-2，
所以a₅=8；
（2）根據(jù)題意可知當(dāng)k∈M={3，4}，
且n＞k時(shí)，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）①，且S_n+1+k+S_n+1-k=2（S_n+1+S_k）②，
②-①得：（S_n+1+k-S_n+k）+（S_n+1-k-S_n-k）=2（S_n+1-S_n），
即a_n+1+k+a_n+1-k=2a_n+1，可化為：a_n+1+k-a_n+1=a_n+1-a_n+1-k
所以n≥8時(shí)，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等差數(shù)列，且a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等差數(shù)列，
從而當(dāng)n≥8時(shí)，2a_n=a_n-3+a_n+3=a_n-6+a_n+6，（*）且a_n-2+a_n+2=a_n-6+a_n+6，
所以當(dāng)n≥8時(shí)，2a_n=a_n-2+a_n+2，即a_n+2-a_n=a_n-a_n-2，
于是得到當(dāng)n≥9時(shí)，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等差數(shù)列，從而a_n-3+a_n+3=a_n-1+a_n+1，
由（*）式可知：2a_n=a_n-1+a_n+1，即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
當(dāng)n≥9時(shí)，設(shè)d=a_n-a_n-1，
則當(dāng)2≤n≤8時(shí)，得到n+6≥8，從而由（*）可知，2a_n+6=a_n+a_n+12，得到2a_n+7=a_n+1+a_n+13，
兩式相減得：2（a_n+7-a_n+6）=a_n+1-a_n+（a_n+13-a_n+12），
則a_n+1-a_n=2d-d=d，
因此，a_n-a_n-1=d對(duì)任意n≥2都成立，
又由S_n+k+S_n-k-2S_n=2S_k，可化為：（S_n+k-S_n）-（S_n-S_n-k）=2S_k，
當(dāng)k=3時(shí)，（S_n+3-S_n）-（S_n-S_n-3）=9d=2S₃；同理當(dāng)k=4時(shí)，得到16d=2S₄，
兩式相減得：2（S₄-S₃）=2a₄=16d-9d=7d，解得a₄=

7

2

d，
因?yàn)閍₄-a₃=d，解得a₃=

5

2

d，同理a₂=

3

2

d，a₁=

d

2

，
則數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由a₁=1可知d=2，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列的遞推式化簡求值，掌握確定數(shù)列為等差數(shù)列的方法，會(huì)根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和等差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一道中檔題．