Question

已知甲同學每投籃一次，投進的概率均為

2

3

．
（1）求甲同學投籃4次，恰有3次投進的概率；
（2）甲同學玩一個投籃游戲，其規(guī)則如下：最多投籃6次，連續(xù)2次不中則游戲終止．設甲同學在一次游戲中投籃的次數(shù)為X，求X的分布列．

Answer 1

分析：（1）正確理解題意：“甲同學投籃4次，恰有3次投”即從4次中選出三次C₄³，再結(jié)合概率的知識解決問題即可．
（2）根據(jù)題意可得本題主要考查相互獨立事件的概率與分布列，寫出X的可能取值，進而利用相互獨立事件的概率進行求解．

解答：解：（1）設“甲投籃4次，恰有3次投進”為事件A，
則P(A)=

C

3 4

(

2

3

)3•(

1

3

)1=

32

81

．     
（2）依題意，X的可能取值為2，3，4，5，6．
P(X=2)=

1

3

×

1

3

=

1

9

；    
P(X=3)=

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

；    
P(X=4)=(

2

3

+

1

3

)×

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

；    
“X=5”表示投籃5次后終止投籃，即“最后兩次投籃未進，第三次投中，第一次與第二次至少有一次投中”．
所以P(X=5)=[1-

1

3

•

1

3

]•

2

3

•(

1

3

)2=

16

243

；    
P(X=6)=1-[P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=

164

243

．
所以，所求X的分布列為：

X	2	3	4	5	6
P	1 9	2 27	2 27	16 243	164 243

點評：解決此類問題的關鍵是將比較復雜的事件按照要求分解為比較簡單的多個彼此互斥的事件，然后再根據(jù)公式進行計算．