Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值，及取得最值時(shí)自變量x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性確定單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）首先，根據(jù)x∈[0，

π

2

]，然后，得到

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解其最值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)----（2分）
∴T=π，-----（3分）
當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z 時(shí)，
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z時(shí)，
f（x）為減函數(shù)-----（5分）
∴y=f（x）減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z-----（6分）；
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，
則

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

------（8分）
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，函數(shù)有最大值，
最大值為f（x）_max=2；--------（10分）
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，函數(shù)有最小值，
最小值為f（x）_min=-1------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)公式、三角恒等變換公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．