Question

17．圓心在拋物線x²=2y上且與直線2x+2y-3=0相切的圓中，面積最小的圓的方程為$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=2．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)圓心為（a，$\frac{1}{2}$a²），據(jù)點到直線的距離公式將半徑r表示為關(guān)于a的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)算出當(dāng)a=-1時半徑r的最小值等于$\sqrt{2}$，由此即可得到所求面積最小的圓的方程．

解答 解：∵圓心在拋物線x²=2y上，∴可設(shè)圓心為（a，$\frac{1}{2}$a²），
又∵直線2x+2y-3=0與圓相切，
∴圓心到直線2x+2y-3=0的距離等于半徑r，
即r=$\frac{|2a+{a}^{2}-3|}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{|（a+1）^{2}-4|}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{4}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得當(dāng)a=-1時，半徑r最小，
∴所有的圓中，面積最小圓的半徑r=$\sqrt{2}$，此時圓的圓心坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$）．
因此，所求圓的方程為$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=2．
故答案為：$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=2．

點評 本題給出圓心在拋物線上的圓，求當(dāng)圓與定直線相切時圓的方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與的位置關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．