Question

5．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a（a∈R）．
（1）當a=-1時，解不等式f（x）≤|2x-1|；
（2）若a≥0，f（x）≤2，求證：|x|≤a+1．

Answer 1

分析 （1）解法一：當a=-1時，不等式即|x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{1}{2}$|≤$\frac{1}{2}$，再利用絕對值的意義求得不等式f（x）≤|2x-1|的解集．
解法二：把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由條件|2x-a|+a≤2，利用絕對值三角不等式證得|x|≤1，從而證得結(jié)論．

解答 解：（1）解法一：當a=-1時，解不等式f（x）≤|2x-1|，
即|2x+1|-1≤|2x-1|，即|x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{1}{2}$|≤$\frac{1}{2}$．
而|x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{1}{2}$|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到-$\frac{1}{2}$對應(yīng)點的距離
減去它到$\frac{1}{2}$對應(yīng)點的距離，
而$\frac{1}{4}$對應(yīng)點到-$\frac{1}{2}$對應(yīng)點的距離減去它到$\frac{1}{2}$對應(yīng)點的距離正好等于$\frac{1}{2}$，
故不等式f（x）≤|2x-1|的解集為{x|x≤$\frac{1}{4}$}．
解法二：不等式f（x）≤|2x-1|，即|2x+1|-|2x-1|≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（1-2x）≤1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{2x+1-（1-2x）≤1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x+1-（2x-1）≤1}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{4}$，解求得x∈∅．
綜上可得，不等式f（x）≤|2x-1|的解集為{x|x≤$\frac{1}{4}$}．
（2）證明：∵f（x）=|2x-a|+a≤2，而由絕對值三角不等式可得|2x-a|≥|2x|-|a|=|2x|-a，
∴|2x|-a+a≤2，即 2|x|≤2，即|x|≤1．
又∵a≥0，∴|x|≤a+1成立．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值三角不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．