Question

13．已知圓C的周長(zhǎng)被y軸平分，且經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3）．
（1）求圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)O作兩條直線l₁：y=k₁x交圓C于點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），作直線l₂：y=k₂x交圓C于點(diǎn)G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0），設(shè)EH交x軸于點(diǎn)Q，GF交x軸于點(diǎn)R（如圖）
①求證：$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$；
②求證：|OQ|=|OR|．（證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形）

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的一點(diǎn)P（x，y），連接AC，利用勾股定理即可求出圓C的半徑，從而寫出圓C的方程；
（2）①將直線l₁、l₂的方程分別代入圓C的方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可證明等式成立；
②設(shè)出點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)，由E、Q、H三點(diǎn)共線和F、R、G三點(diǎn)共線，結(jié)合①的結(jié)論，即可證明|OQ|=|OR|．

解答 解：（1）設(shè)圓C的一點(diǎn)P（x，y），連接AC，設(shè)圓C的半徑為r，
在Rt△AOC中，AC²=OC²+OA²，
即r²=（3-r）²+${（\sqrt{3}）}^{2}$，
解得r=2；
又C（0，1），
∴PC=2，
∴x²+（y-1）²=4，
化為一般方程是x²+y²-2y-3=0，
即圓C的方程為x²+y²-2y-3=0；
（2）①將直線l₁：y=k₁x代入圓C的方程，
整理得（${{k}_{1}}^{2}$+1）x²-2k₁x-3=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=$\frac{{2k}_{1}}{{{k}_{1}}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{{k}_{1}}^{2}+1}$（i），
將直線l₂：y=k₂x代入圓C的方程，
整理得（${{k}_{2}}^{2}$+1）x²-2k₂x-3=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₃+x₄=$\frac{{2k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，x₃x₄=-$\frac{3}{{{k}_{2}}^{2}+1}$（ii）；
由（i）、（ii）可得$\frac{{{{k}_{1}x}_{1}x}_{2}}{{x}_{1}{+x}_{2}}$=-$\frac{3}{2}$，$\frac{{{{k}_{2}x}_{3}x}_{4}}{{x}_{3}{+x}_{4}}$=-$\frac{3}{2}$，
所以$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$；
②設(shè)點(diǎn)Q（q，0），R（r，0），由E、Q、H三點(diǎn)共線，
得$\frac{{x}_{1}-q}{{{k}_{1}x}_{1}}$=$\frac{{x}_{4}-q}{{{k}_{2}x}_{4}}$，解得q=$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{1}x}_{4}}{{{k}_{1}x}_{1}{{-k}_{2}x}_{4}}$，
同理，由F、R、G三點(diǎn)共線，求得r=$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{2}x}_{3}}{{{k}_{1}x}_{2}{{-k}_{2}x}_{3}}$，
又$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$，變形得$\frac{{{x}_{2}x}_{3}}{{{k}_{1}x}_{2}{{-k}_{2}x}_{3}}$=-$\frac{{{x}_{1}x}_{4}}{{{k}_{1}x}_{1}{{-k}_{2}x}_{4}}$，
所以$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{2}x}_{3}}{{{k}_{1}x}_{2}{{-k}_{2}x}_{3}}$+$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{1}x}_{4}}{{{k}_{1}x}_{1}{{-k}_{2}x}_{4}}$=0，
即q+r=0，所以|q|=|r|，
即|OQ|=|OR|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了由直線方程與圓的方程組成方程組以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目．