Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上下頂點分別為A，B，右頂點為C，右焦點為F，延長BF與AC交于點P，若O，F(xiàn)，P，A四點共圓，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由O，F(xiàn)，P，A四點共圓得$∠APF=\frac{π}{2}$，即AC⊥BP，∴${k_{AC}}•{k_{BP}}=-\frac{a}•\frac{c}=-1$，b²=ac，e²+e-1=0

解答 解：如圖所示，∵O，F(xiàn)，P，A四點共圓，$∠AOF=\frac{π}{2}$，∴$∠APF=\frac{π}{2}$，
即AC⊥BP，∴${k_{AC}}•{k_{BP}}=-\frac{a}•\frac{c}=-1$，
∴b²=ac，a²-c²=ac，∴e²+e-1=0，$e=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故選C．

點評 本題考查了橢圓的離心率，運用平面幾何知識及橢圓定義是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．