Question

8．已知直線l：（m+2）x+（m-1）y+4-4m=0上總存在點M，使得過M點作的圓C：x²+y²+2x-4y+3=0的兩條切線互相垂直，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． m≤1或m≥2
• B． 2≤m≤8
• C． -2≤m≤10
• D． m≤-2或m≥8

Answer 1

分析 若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（-1，2）到直線l的距離$d=\frac{|-m-2+2m-2+4-4m|}{{\sqrt{{{（m+2）}^2}+{{（m-1）}^2}}}}≤2$，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：如圖，設(shè)切點分別為A，B．連接AC，BC，MC，
由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四邊形MACB為正方形，故$|MC|=\sqrt{2+2}=2$，
若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（-1，2）到直線l的距離$d=\frac{|-m-2+2m-2+4-4m|}{{\sqrt{{{（m+2）}^2}+{{（m-1）}^2}}}}≤2$，即m²-8m-20≤0，∴-2≤m≤10，
故選：C．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，由題意得到若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（-1，2）到直線l的距離$d=\frac{|-m-2+2m-2+4-4m|}{{\sqrt{{{（m+2）}^2}+{{（m-1）}^2}}}}≤2$，是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．