設(shè)b>0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖6所示,過(guò)點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1.

圖6

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設(shè)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).

本題主要考查橢圓、拋物線的概念,橢圓、拋物線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法,以及運(yùn)算求解能力.

解:(1)由x2=8(y-b)得y=+b.

當(dāng)y=b+2時(shí),x=±4,

則G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,b+2).

于是拋物線x2=8(y-b)在點(diǎn)G的切線的l的斜率k==1,

切線l的方程為y=x+b-2.

由橢圓方程得F1點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,0),

又切線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1

∴由0=b+b-2,解得b=1.

因此滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為+y2=1和x2=8(y-1).

(2)拋物線上存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形,這樣的點(diǎn)共有4個(gè).

①分別過(guò)A,B作x軸的垂線,與拋物線分別交于兩點(diǎn)P1(-,)和P2,),則△ABP1和△ABP2都是直角三角形.

②以原點(diǎn)為中心,|AB|=為半徑作圓周,由于圓周半徑大于橢圓的半短軸長(zhǎng)1,且橢圓與拋物線僅交于一點(diǎn),所以上述圓周必與拋物線相交于兩點(diǎn)P3和P4.

則△ABP3和△ABP4都是直角三角形.

因?yàn)镻1A與圓相切于點(diǎn)A,而P3在圓周上,

所以P3與P1不重合,同理P4與P2不重合.

故P1、P2、P3和P4是兩兩互不相同的點(diǎn).

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a>b>0 )
,它的一個(gè)頂點(diǎn)為M(0,1),離心率e=
6
3

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為
3
2
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),則外層橢圓方程可設(shè)
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1(a>b>o,m>1).若AC與BD的斜率之積為-
9
16
,則橢圓的離心率為
 

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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距為4,設(shè)右焦點(diǎn)為F1,離心率為e.
(1)若e=
2
2
,求橢圓的方程;
(2)設(shè)A、B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),AF1的中點(diǎn)為M,BF1的中點(diǎn)為N,若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上.
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②設(shè)直線AB的斜率為k,若k≥
3
,求e的取值范圍.

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設(shè)b>0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖4所示,過(guò)點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1.

圖4

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