Question

1．已知偶函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（x-4），且f（x）在區(qū)間[-2，0]上有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5，-1≤x≤0}\\{{2}^{-x}+{2}^{x}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b恰好有4個不等的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2）
• B． （2，$\frac{33}{8}$）
• C． （2，$\frac{19}{8}$）
• D． （$\frac{19}{8}$，$\frac{33}{8}$）

Answer 1

分析 作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)對稱性可得f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b在（0，+∞）上有2個交點，根據(jù)圖象列出不等式解出b的范圍．

解答 解：∵f（x）=f（x-4），∴f（x）的周期為4，
又f（x）是偶函數(shù)，作出f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b在（0，+∞）上的函數(shù)圖象如圖所示：

∵y=f（x）與y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b都是偶函數(shù)，且方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b恰好有4個不等的實數(shù)根，
∴f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b在（0，+∞）上有2個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b＞\frac{5}{2}}\\{\frac{1}{8}+b＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得2＜b＜$\frac{19}{8}$．
故選C．

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象，函數(shù)的周期應(yīng)用，函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．