Question

已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=（+）

（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)A作直線L交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn).線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為且直線MN與點(diǎn)E的軌跡相切，求橢圓的方程.

Answer 1

(1)設(shè)E(x,y), =(+ ).∴=2-,∴=2(x+2,y)-(4,0)=(2x,2y).又||=2,∴x²+y²=1(y≠0).

(2)設(shè)橢圓方程為：+=1,直線L:y=k(x+2).由于直線L與圓E相切，∴=1,∴k=±直線L：y=±(x+2).

    將y=±(x+2)代入b²x²+a²y²-a²b²=0,則有(3b²+a²)x²+4a²x+4a²-3a²b²=0.

∴x_M+x_N=.∴x_中==.

|x_中|==,∴5a²=6b²+2a²,

∴a²=2b².

    又c²=4,∴b²=4,a²=8橢圓方程為

+=1.