Question

18．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）在x軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，原點O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線l：y=kx+m（-1≤k≤2）與圓x²+y²=2相切，并與橢圓C交于M，N兩點，若|MN|=$\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由原點O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．列出方程組，求出a，b，c，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（3k²+4）x²+6kmx+3m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線與圓相切、弦長公式，結合已知條件，能求出k的值．

解答 解：（1）∵A，B分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）在x軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，
原點O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=7$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，a＞b＞0，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得：
（3k²+4）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴△=36k²m²-4（3k²+4）（3m²-12）＞0，
即3k²-m²+4＞0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{64km}{3{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{3{k}^{2}+4}$，
又直線l與圓x²+y²=2相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，即m²=2（k²+1），
∵|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{48（3{k}^{2}-{m}^{2}+4）}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{48（{k}^{2}+2）}}{3{k}^{2}+4}$
=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+2}}{3{k}^{2}+4}$，
又|MN|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{k}^{2}+3{k}^{2}+2}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
5k⁴-3k²-2=0，
解得k=±1．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查直線的低利率求法，考查等價轉化思想，考查推理論證能力，考查直線、橢圓、圓的性質，是中檔題．