Question

已知直線：

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1（a，b為給定的正常數(shù)，θ為參數(shù)，θ∈[0，2π））構(gòu)成的集合為S，給出下列命題：
①當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，S中直線的斜率為

b

a

；
②S中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；
③當(dāng)a=b時(shí)，存在某個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)到S中的所有直線的距離均相等；
④當(dāng)a＞b時(shí)，S中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b；
⑤S中的所有直線可覆蓋整個(gè)平面．
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,圓錐曲線的共同特征

專題：綜合題,直線與圓

分析：①當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，sinθ=cosθ，S中直線的斜率為-

b

a

，；
②S中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，不正確；
③當(dāng)a=b時(shí)，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點(diǎn)（0，0），該定點(diǎn)到S中的所有直線的距離均相等；
④當(dāng)a＞b時(shí)，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

≥2b，可得最小值大于2b；
⑤（0，0）不滿足方程．

解答： 解：①當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，sinθ=cosθ，S中直線的斜率為-

b

a

，故不正確；
②根據(jù)

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1，可知S中所有直線不可能經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，不正確；
③當(dāng)a=b時(shí)，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點(diǎn)（0，0），該定點(diǎn)到S中的所有直線的距離均相等；
④當(dāng)a＞b時(shí)，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

＞2b，即最小值大于2b；
⑤（0，0）不滿足方程，所以S中的所有直線不可覆蓋整個(gè)平面．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程的應(yīng)用，要明確直線系中直線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，判斷各個(gè)命題的正確性．