Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線與拋物線y²=4x分別相交于異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)A，B，F(xiàn)為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，已知∠AFB=$\frac{2π}{3}$，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{13}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知：由A在雙曲線的漸近線上，即y=±$\frac{a}$x，則丨n丨=$\frac{a}$m，由A在拋物線y²=4x上，則4m=n²，求得m=$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$，丨n丨=$\frac{4a}$，由∠AFB=$\frac{2π}{3}$，則48（$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）2-40•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+3=0，求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=12或$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)A（m，n），由A在雙曲線的漸近線上，即y=±$\frac{a}$x，
則丨n丨=$\frac{a}$m，
∴由A在拋物線y²=4x上，則4m=n²，
∴m=$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$，丨n丨=$\frac{4a}$，
由∠AFB=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{4a}$=$\sqrt{3}$•丨1-$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$丨，
∴48（$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）2-40•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+3=0，
∴$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{1}{12}$，或$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=12或$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{13}$，
或e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
曲線的離心率為$\sqrt{13}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$
故答案為：$\sqrt{13}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．