Question

13．如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD與點D，E，F(xiàn)分別為弦AB，AC上的點，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．
（1）求證：CA為△ABC外接圓的直徑；
（2）若DB=BE=EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的半徑與△ABC外接圓的半徑比值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得△AFE∽△CBD，從而∠AFE=∠CBD，又B，E，F(xiàn)，C四點共圓，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能證明CA是△ABC外接圓的直徑．
（2）連結(jié)CE，由CE為B，E，F(xiàn)，C所共圓的直徑，得CD=CE，由切線性質(zhì)得AC⊥DC，由此能求出過B、E、F、C四點的圓的半徑與△ABC外接圓半徑的比值．

解答 （1）證明：∵BC•AE=DC•AF，
∴$\frac{BC}{DC}=\frac{AF}{AE}$…（1分）
又 DC為圓的切線
∴∠DCB=∠EAF…（2分）
∴△AFE∽△CBD…（3分）
∴∠AFE=∠CBD…（4分）
又B，E，F(xiàn)，C四點共圓
∴∠AFE=∠CBE…（5分）
∴∠CBD=∠CBE=90°
∴CA是△ABC外接圓的直徑…（6分）
（2）解：連結(jié)CE，∵∠CBE=90°
∴CE為B，E，F(xiàn)，C所共圓的直徑…（7分）
∵DB=BE，且BC⊥DE
∴CD=CE…（8分）
∵DC為圓的切線，AC為該圓的直徑
∴AC⊥DC…（9分）
設DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，
CD²=BD•DA=3a²，AC²=AB•AD=6a²，
∴$\frac{C{D}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴過B、E、F、C四點的圓的半徑與△ABC外接圓半徑的比值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查三角形外接圓直徑的證明，考查兩圓半徑比值的求法，解題時要認真審題，注意四點共圓的性質(zhì)的靈活運用．