Question

5．已知首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*，且-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對于數(shù)列$\left\{{A_n^{\;}}\right\}$，若存在一個區(qū)間M，均有A_i∈M，（i=1，2，3…），則稱M為數(shù)列$\left\{{A_n^{\;}}\right\}$的“容值區(qū)間”，設(shè)${b_n}={S_n}+\frac{1}{S_n}$，試求數(shù)列{b_n}的“容值區(qū)間”長度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠0），運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，討論n為偶數(shù)，n為奇數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，以及“容值區(qū)間”的定義，即可得到所求區(qū)間的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠0），
由-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列，
知-2S₂+4S₄=2S₃，
則$-2（{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}q}）+4（{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}q+\frac{3}{2}{q^2}+\frac{3}{2}{q^3}}）=2（{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}q+\frac{3}{2}{q^2}}）$，
化簡得3q²+6q³=0，解得$q=-\frac{1}{2}$，
則${a_n}=\frac{3}{2}•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${S_n}=1-{（{-\frac{1}{2}}）^n}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，${S_n}=1-{（{\frac{1}{2}}）^n}$，易知S_n隨n增大而增大，
∴${S_n}∈[{\frac{3}{4}，1}）$，此時${b_n}={S_n}+\frac{1}{S_n}∈（{2，\frac{25}{12}}]$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，${S_n}=1+{（{\frac{1}{2}}）^n}$，易知S_n隨n增大而減小，
∴${S_n}∈（{1，\frac{3}{2}}]$，此時${b_n}={S_n}+\frac{1}{S_n}∈（{2，\frac{13}{6}}]$，
又$\frac{13}{6}＞\frac{25}{12}$，∴${b_n}∈（{2，\frac{13}{6}}]$，
區(qū)間長度為$\frac{13}{6}$-2=$\frac{1}{6}$．
故數(shù)列{b_n}的“容值區(qū)間”長度的最小值為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查新定義的理解和運(yùn)用，以及分類討論的思想方法，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．