如圖,在多面體ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F為CD中點.
(1)求證:EF⊥面BCD;
(2)求多面體ABCDE的體積;
(3)求面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值.
答案:(1)證明:取BC中點G,連FG,AG. ∵AE⊥面ABC,BD∥AE,∴BD⊥面ABC, 又AG ∴AG⊥BC,∴AG⊥平面BCD,∵F是CD的中點且BD=2, ∴FG∥BD且 又AE=1,∴AE=FG,故四邊形AEFG是平行四邊形,從而EF∥AG, ∴EF⊥面BCD. (2)解:設(shè)AB中點為H,則由AC=AB=BC=2,可得CH⊥AB且 又∵BD∥AE,∴BD與AE共面,又AE⊥面ABC,故平面ABDE⊥平面ABC, ∴CH⊥平面ABDE,即CH為四棱錐C-ABDE的高. 故 (3)解:過C作CK⊥DE于K,連接KH,由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE, ∴∠HKC為二面角C—DE—B的平面角. 易知 由 可得 ∴面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值為
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