Question

9．已知右焦點為F的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（1，$\frac{3}{2}$），直線x=a與拋物線L：x²=$\frac{8}{3}$y交于點N，且$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{FN}$，其中O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于A、B兩點．
①若直線l與x軸垂直，過點P（4，0）的直線PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點；
②已知D為橢圓C的左頂點，若l與直線DM平行，判斷直線MA，MB是否關(guān)于直線FM對稱，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{FN}$，即可求得N點坐標(biāo)，將M代入拋物線方程，即可求得a，代入橢圓方程，即可求得b的值，即可求得橢圓方程；
（2）①設(shè)直線PB的方程，設(shè)B，E點坐標(biāo)，將直線PB代入橢圓方程，求得直線AE的方程，利用韋達定理即可求得x的值，直線AE與x軸相交于定點（1，0）；
②設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由△＞0，即可求得n的取值范圍，利用直線的斜率公式及韋達定理k_MA+k_MB=0，則直線MA，MB關(guān)于直線x=1對稱．

解答 解：（1）設(shè)N（a，y₀），連接MN，由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{FN}$，則OMNF為平行四邊形，則y₀=$\frac{3}{2}$，
將M（1，$\frac{3}{2}$）代入拋物線方程：解得：a=2，
將M（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{1}{4}+\frac{9}{4^{2}}=1$，解得：b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①證明：由題意，直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4），B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則A（x₁，-y₁），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，①
則直線AE的方程為：y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂），令y=0，x=x₂-$\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，
∴x=1，
∴直線AE與x軸相交于定點（1，0）；
②由題意可知，直線MF的方程為x=1，則k_OM=$\frac{1}{2}$，設(shè)直線l：y=$\frac{1}{2}$x+n，（n≠1），
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+nx+n²-3=0，
△=n²-4×（n²-3）=12-3n²＞0，即b∈（-2，2），且n≠1，
x₃+x₄=-n，x₃x₄=n²-3，
則k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{3}-\frac{3}{2}}{{x}_{3}-1}$+$\frac{{y}_{4}-\frac{3}{2}}{{x}_{4}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{3}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{3}-1}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{4}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{4}-1}$
=1+$\frac{n-1}{{x}_{3}-1}$+$\frac{n-1}{{x}_{4}-1}$=1+$\frac{（n-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{3}+{x}_{4}）+1}$=1-$\frac{（n-1）（n+2）}{{n}^{2}+n-2}$=0，
直線MA，MB關(guān)于直線x=1對稱．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．