Question

9．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-x²+ax．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，
①求a的取值范圍；
②若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，f（m-1）+f（m²+t）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由已知表達(dá)式可求f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求f（x）；
（II）①借助二次函數(shù)圖象的特征及奇函數(shù)性質(zhì)可求a的范圍；
②利用奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)遞減性質(zhì)可去掉不等式中的符號(hào)“f”，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理．

解答 解：（I）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x²-ax）=x²+ax，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≥0}\\{{x}^{2}+ax，x＜0}\end{array}\right.$．
（II）①當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$≤0，所以f（x）=-x²+ax在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以a≤0時(shí)，f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上遞減，不合題意，
所以函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，a的范圍為a≤0．
②f（m-1）+f（m²+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m²+t），
又f（x）是奇函數(shù)，∴f（m-1）＜f（-t-m²），
又因?yàn)閒（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以m-1＞-t-m²恒成立，
所以$t＞-{m}^{2}-m+1=-（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$恒成立，所以t＞$\frac{5}{4}$，
即實(shí)數(shù)t的范圍為：（$\frac{5}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．