Question

12．已知在平面直角坐標系中，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲線C₁與C₂交點的平面直角坐標；
（Ⅱ） 點A，B分別在曲線C₁，C₂上，當|AB|最大時，求△OAB的面積（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$消去θ化為普通方程，由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，得x²+y²=2y，聯(lián)立求出交點的直角坐標，化為極坐標得答案；
（Ⅱ） 由平面幾何知識可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共線時|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距離代入三角形的面積公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x+1=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$
則曲線C₁的普通方程為（x+1）²+y²=1．
又由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，得x²+y²=2y．
把兩式作差得，y=-x，代入x²+y²=2y，
可得交點坐標為為（0，0），（-1，1）．（5分）
（Ⅱ） 由平面幾何知識可知，
當A，C₁，C₂，B依次排列且共線時，|AB|最大，此時$|AB|=2+\sqrt{2}$，
直線AB的方程為x-y+1=0，則O到AB的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以△OAB的面積為$S=\frac{1}{2}（2+\sqrt{2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程化普通方程，極坐標與直角坐標的互化，考查學生的計算能力，是中檔題．