Question

17．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-a|．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）≥4；
（2）若f（x）=|x-1+a|，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值帶入f（x），通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，根據(jù)絕對值不等式成立條件得到當(dāng)且僅當(dāng)（2x-1）（x-a）≤0，通過討論a的范圍求出x的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，
$f（x）=|{2x-1}|+|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}-3x（x≤-1）\\-x+2（-1＜x＜\frac{1}{2}）\\ 3x（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤-1時(shí)，-3x≥4，此時(shí)$x≤-\frac{4}{3}$，
當(dāng)$-1＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，-x+2≥4，x無解
當(dāng)$x≥\frac{1}{2}$時(shí)，3x≥4，此時(shí)$x≥\frac{4}{3}$，綜上：$x≤-\frac{4}{3}$或$x≥\frac{4}{3}$
不等式解集為$\left\{{x\left|{\;}\right.x≤-\frac{4}{3}或x≥\frac{4}{3}}\right\}$
（2）因?yàn)閨2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|
由絕對值不等式成立條件可知：
當(dāng)且僅當(dāng)（2x-1）（x-a）≤0時(shí)成立
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}≤x≤a$
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$x=\frac{1}{2}$
當(dāng)$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，$a≤x≤\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．