Question

已知拋物線C：x²=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且拋物線上一點到點F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為點Q，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：因為點在拋物線C：x²=ay（a＞0）上，所以am=8．
因為點到拋物線的焦點F的距離是3，所以點到拋物線的準(zhǔn)線的距離是3，
所以．
所以．
所以a=4，或a=8．…..（3分）
因為m＞1，所以a=4…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x²=4y．
因為直線l經(jīng)過點T（0，1），，所以直線l的斜率一定存在，
設(shè)直線l的斜率是k，所以直線l的方程是y=kx+1，即kx-y+1=0．
聯(lián)立方程組消去y，得x²-4kx-4=0．…..（5分）
所以．
因為，且k＞0，所以．…..（7分）
所以，所以．
因為k＞0，所以
所以k的值是．…..（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，方程組得x²-4kx-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
．…..（9分）
由x²=4y，所以，所以．
所以切線QA的方程是，切線QB的方程是．…..（11分）
所以點Q的坐標(biāo)是（，），即（2k，-1），所以．
因為
所以．…..（14分）
分析：（Ⅰ）利用點在拋物線C：x²=ay（a＞0）上，點到拋物線的焦點F的距離是3，根據(jù)定義，建立方程，從而可求a的值；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用，建立方程，結(jié)合k＞0，可求k的值；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，確定的坐標(biāo)，確定切線QA、QB的方程，求出點Q的坐標(biāo)，從而可得的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式可得結(jié)論．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．