Question

8．若數(shù)列{b_n}滿足：n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（1）若c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n-1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)}\\{4n+9當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)}\end{array}\right.$，求準(zhǔn)等差數(shù)列{c_n}的公差，并求{c_n}的前19項(xiàng)的和T₁₉； 
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n
①求證：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
②設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）c_2n+1-c_2n-1=8；c_2n+2-c_2n=8．即可得出準(zhǔn)等差數(shù)列{c_n}的公差及其數(shù)列{c_n}的前19項(xiàng)的和T₁₉．
（2）①對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，a_n+1+a_n+2=2（n+1），可得：a_n+2-a_n=2．可得{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，其公差為2．對(duì)n分類討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
②對(duì)n分類討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．

解答 （1）解：c_2n+1-c_2n-1=4×（2n-1）-1-[4×（2n-1）-1]=8；c_2n+2-c_2n=4×（2n+2）+9-（4×2n+9）=8．
∴準(zhǔn)等差數(shù)列{c_n}的公差為8，
{c_n}的前19項(xiàng)的和T₁₉=$\frac{（3+75）}{2}×10$+$\frac{（17+81）×9}{2}$=831．
（2）①證明：∵對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，a_n+1+a_n+2=2（n+1），∴a_n+2-a_n=2．
∴{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，其公差為2．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=2-a+2×$（\frac{n}{2}-1）$=n-a．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=a+2×$（\frac{n+1}{2}-1）$=n+a-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n-a，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=$a×\frac{n}{2}$+$\frac{\frac{n}{2}（\frac{n}{2}-1）}{2}×2$+$（2-a）×\frac{n}{2}$+$\frac{\frac{n}{2}（\frac{n}{2}-1）}{2}×2$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=$a×\frac{n+1}{2}$+$\frac{\frac{n+1}{2}（\frac{n+1}{2}-1）}{2}$×2+（2-a）×$\frac{n-1}{2}$+$\frac{\frac{n-1}{2}（\frac{n-1}{2}-1）}{2}×2$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$+a-$\frac{1}{2}$．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，S_k=$\frac{1}{2}{k}^{2}$=50，解得k=10．
S₉=$\frac{1}{2}×{9}^{2}$+a-$\frac{1}{2}$=40+a=50，解得a=10．
S₁₁=$\frac{1}{2}×1{1}^{2}$+a-$\frac{1}{2}$=50，解得a=-10．
∴存在實(shí)數(shù)a=±10，使得數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、新定義，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．