Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且與直線相切.

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）過的直線與交于，兩點(diǎn)，分別過，做的垂線，垂足為，，線段的中點(diǎn)為.

①求證：；

②記四邊形，的面積分別為，，若，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義得到點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而求得方程；

（2）①設(shè)，，則，，得到，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，分，兩種情況，結(jié)合直線垂直的條件證得結(jié)果；

②根據(jù)三角形的面積比，得到坐標(biāo)比，結(jié)合①，從而得到，得到結(jié)果.

（1）∵動圓過點(diǎn)且與直線相切，

∴點(diǎn)到的距離等于到的距離，

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為.

（2）①證法一：設(shè)，，則，，

∵為線段的中點(diǎn)，∴，

依題意可設(shè)直線的方程為，

由得，

，，，

∴，

當(dāng)時(shí)，，關(guān)于軸對稱，點(diǎn)恰為與軸的交點(diǎn)，滿足；

當(dāng)時(shí)，，∴，∴，

綜上，.

證法二：連接，，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，

∵軸，，∴，

同理，，

∴，

∴，

又，，∴，

∴，即.

②法一：由得，

同理，≌，

故，

由知，異號，故，

∴，，

∴.

法二：由得，

同理，

故，

由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，直線的傾斜角為，

由定義易得，

∴，同理，

∴，即，

∴.