Question

12．已知拋物線C：y²=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．
（1）證明：坐標原點O在圓M上；
（2）設圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）方法一：分類討論，當直線斜率不存在時，求得A和B的坐標，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則坐標原點O在圓M上；當直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則坐標原點O在圓M上；
方法二：設直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則坐標原點O在圓M上；
（2）由題意可知：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，根據向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得M點坐標，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程．

解答 解：方法一：證明：（1）當直線l的斜率不存在時，則A（2，2），B（2，-2），
則$\overrightarrow{OA}$=（2，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，-2），則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
則坐標原點O在圓M上；
當直線l的斜率存在，設直線l的方程y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（4k²+2）x+4k²=0，
則x₁x₂=4，4x₁x₂=y₁²y₂²=（y₁y₂）²，由y₁y₂＜0，
則y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，則坐標原點O在圓M上，
綜上可知：坐標原點O在圓M上；
方法二：設直線l的方程x=my+2，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：y²-2my-4=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁y₂=-4，
則（y₁y₂）²=4x₁x₂，則x₁x₂=4，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，則坐標原點O在圓M上，
∴坐標原點O在圓M上；
（2）由（1）可知：x₁x₂=4，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，y₁y₂=-4，
圓M過點P（4，-2），則$\overrightarrow{AP}$=（4-x₁，-2-y₁），$\overrightarrow{BP}$=（4-x₂，-2-y₂），
由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，則（4-x₁）（4-x₂）+（-2-y₁）（-2-y₂）=0，
整理得：k²+k-2=0，解得：k=-2，k=1，
當k=-2時，直線l的方程為y=-2x+4，
則x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，y₁+y₂=-1，
則M（$\frac{9}{4}$，-$\frac{1}{2}$），半徑為r=丨MP丨=$\sqrt{（4-\frac{9}{4}）^{2}+（-2+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{4}$，
∴圓M的方程（x-$\frac{9}{4}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{16}$．
當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x-2，
同理求得M（3，1），則半徑為r=丨MP丨=$\sqrt{10}$，
∴圓M的方程為（x-3）²+（y-1）²=10，
綜上可知：直線l的方程為y=-2x+4，圓M的方程（x-$\frac{9}{4}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{16}$
或直線l的方程為y=x-2，圓M的方程為（x-3）²+（y-1）²=10．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．