Question

4．函數f（x）=${（{\frac{1}{4}}）^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$+1在[-3，2]的最大值是57．

Answer 1

分析 設（$\frac{1}{2}$）^x=t，轉為為f（t）=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在t∈[$\frac{1}{4}$，8]的最值問題，根據二次函數的性質即可求出．

解答 解：設（$\frac{1}{2}$）^x=t，
∵x∈[-3，2]，
∴t∈[$\frac{1}{4}$，8]，
∴f（t）=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴f（t）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]上單調遞減，在（$\frac{1}{2}$，8）單調遞增，
∴f（t）_max=f（8）=64-8+1=57，
故函數f（x）=${（{\frac{1}{4}}）^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$+1在[-3，2]的最大值是57，
故答案為：57．

點評 本題考查了指數函數的和二次函數的性質，以及函數的最值問題，屬于中檔題．