【題目】已知函數(shù),其中

(Ⅰ)若函數(shù)處的切線與直線垂直,求的值;

(Ⅱ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;

(Ⅲ)若, 恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);(3).

【解析】試題分析:(Ⅰ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率,結(jié)合切線與直線垂直,可求得的值;(Ⅱ)根據(jù),令.對(duì)分類(lèi)討論可得:(1)當(dāng)時(shí),此時(shí),即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況;(2)當(dāng)時(shí), ,①當(dāng)時(shí), ,②當(dāng)時(shí), ,即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況;(3)當(dāng)時(shí), ,即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:(1)當(dāng)時(shí),可得函數(shù)上單調(diào)性,即可判斷出;(2)當(dāng)時(shí),由,可得,函數(shù)上單調(diào)性,即可判斷出;(3)當(dāng)時(shí),設(shè),研究其單調(diào)性,即可判斷.

試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?/span>,由處的切線與直線垂直,

可知,所以;

(Ⅱ)由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ,

, .

(i)當(dāng)時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn);

(ii)當(dāng)時(shí),方程的判別式.

①當(dāng)時(shí), , , ,函數(shù)單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn);

②當(dāng)時(shí), ,設(shè)方程的兩根為, ,因?yàn)?/span>

的對(duì)稱(chēng)軸方程為,所以, ,由,

可得 .

所以當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(iii)當(dāng)時(shí), ,由,可得

當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

①當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,因?yàn)?/span>,所以時(shí), ,符合題意;

②當(dāng)時(shí), ,得,函數(shù)上單調(diào)遞增,又,所以時(shí), ,符合題意;

③當(dāng)時(shí),設(shè),因?yàn)?/span>時(shí),所以 ,所以上單調(diào)遞增,所以,即,可得 ,而當(dāng)時(shí), ,即此時(shí),不符合題意.

綜上所述, 的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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