Question

16．若橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點$Q（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線n交橢圓C與A、B兩點，且k_OA、k、k_OB成等差數(shù)列，又有點M（1，1），
求S_△ABM的面積（結(jié)果用k表示）；
（3）求出（2）中S_△ABM的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），將Q的坐標代入，結(jié)合橢圓的離心率公式及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線n的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用韋達定理和判別式大于0，由等差數(shù)列的中項性質(zhì)，化簡整理可得m=0，將直線y=kx代入橢圓方程，求得A，B的坐標和弦長，求得M到直線AB的距離，運用三角形的面積公式可得S_△ABM的面積；
（3）令f（k）=$\frac{4（k-1）^{2}}{1+4{k}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得S_△ABM的面積的平方的最大值，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由點$Q（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$在橢圓C上，知$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1   ①
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$  ②
聯(lián)立①②解得，a=2，b=1，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線n的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
 消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，
因為直線OA，AB，OB的斜率依次成等差數(shù)列，
所以$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2k，即
x₁y₂+x₂y₁=2kx₁x₂，
又y=kx+m，所以kx₁x₂+mx₂+kx₁x₂+mx₁=2kx₁x₂，
即為m（x₁+x₂）=0，即m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$易得A（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
弦AB的長為$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
又點M到直線y=kx的距離d=$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以S_△ABM=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|k-1|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$；
（3）令f（k）=$\frac{4（k-1）^{2}}{1+4{k}^{2}}$，則f′（k）=$\frac{8（k-1）（4k+1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$，
易知f（k）在（-∞，-$\frac{1}{4}$），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{4}$，1）上單調(diào)遞減．
又f（-$\frac{1}{4}$）=5，且x→+∞時，f（k）→1．
所以當k=-$\frac{1}{4}$時，f（k）取最大值5，
此時，S_△ABM的面積取最大值$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查等差數(shù)列中項的性質(zhì)，以及直線的斜率公式，點到直線的距離公式，三角形的面積的最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．