【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn,且對(duì)任意的m,n∈N*,

都有(SmnS1)2=4a2ma2n

(1)求的值;

(2)求證:{an}為等比數(shù)列;

(3)已知數(shù)列{cn},{dn}滿(mǎn)足|cn|=|dn|=an,p(p3)是給定的正整數(shù),數(shù)列{cn},{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp,Rp,且TpRp,求證:對(duì)任意正整數(shù)k(1≤kp),ckdk

【答案】(12;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)本題采用賦值法,在已知等式中令得得出的關(guān)系;(2)也采用賦值法,本題難點(diǎn)在于已知條件中的平方的處理,為此先取,所得兩聯(lián)立結(jié)合(1)可得,然后令,令,此兩式相除得,因此,即,下面處理方法大家應(yīng)該很清楚了,由此式有,相應(yīng)兩式相減可證得結(jié)論;(3)用反證法證明,由(1,若,不妨設(shè),則,這與已知TpRp矛盾,從而,于是,則,依次可證明題設(shè)結(jié)論.

試題解析:(1)由(SmnS1)24a2na2m,得(S2S1)24a,即(a22a1)24a

因?yàn)?/span>a10a20,所以a22a1a2,即=23

證明:(2)(方法一)令m1,n2,得(S3S1)24a2a4,即(2a1a2a3)24a2a4,

mn2,得S4S12a4,即2a1a2a3a4

所以a44a28a1

又因?yàn)椋?/span>2,所以a34a16

(SmnS1)24a2na2m,得(Sn1S1)24a2na2,(Sn2S1)24a2na4

兩式相除,得=,所以==2

Sn2S12(Sn1S1)

從而Sn3S12(Sn2S1)

所以an32an2,故當(dāng)n≥3時(shí),{an}是公比為2的等比數(shù)列.

又因?yàn)?/span>a32a24a1,從而ana1·2 n1,n∈N*

顯然,ana1·2 n1滿(mǎn)足題設(shè),

因此{an}是首項(xiàng)為a1,公比為2的等比數(shù)列. 10

(方法二)在(SmnS1)24a2na2m中,

mn,得S2nS12a2n

mn1,得S2n1S12

中,用n1n得,S2n2S12a2n2

,得a2n122a2n2(),

,得a2n22a2n222(),

④⑤a2n1=. ⑥ 8

代入,得a2n12a2n;代入a2n22a2n1

所以==2.又=2

從而ana1·2 n1,n∈N*

顯然,ana1·2 n1滿(mǎn)足題設(shè),

因此{an}是首項(xiàng)為a1,公比為2的等比數(shù)列. 10

3)由(2)知,ana1·2 n1

因?yàn)?/span>|cp||dp|a1·2p1,所以cpdpcp=-dp

cp=-dp,不妨設(shè)cp0dp0,

Tp≥a1·2p1(a1·2p2a1·2p3+ +a1)a1·2p1a1·(2p11)a10

Rpa1·2p1(a1·2p2a1·2p3+ +a1)=-a1·2p1a1·(2p11)=-a10

這與TpRp矛盾,所以cpdp

從而Tp1Rp1

由上證明,同理可得cp1dp1.如此下去,可得cp2dp2cp3dp3.,c1d1

即對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ckdk16

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)寫(xiě)出C的方程;
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(Ⅰ)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量千件)的函數(shù)解析式;

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(Ⅰ)同學(xué)甲從這10天中隨機(jī)抽取連續(xù)5天的一組數(shù)據(jù),計(jì)算回歸直線(xiàn)方程.試求連續(xù)5天的一組數(shù)據(jù)中恰好同時(shí)包含氧化物日均濃度最大與最小值的概率;

(Ⅱ)現(xiàn)有30名學(xué)生,每人任取5天數(shù)據(jù),對(duì)應(yīng)計(jì)算出30個(gè)不同的回歸直線(xiàn)方程.已知30組數(shù)據(jù)中有包含氧化物日均濃度最值的有14組.現(xiàn)采用這30個(gè)回歸方程對(duì)某一天平均風(fēng)速下的氧化物日均濃度進(jìn)行預(yù)測(cè),若預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值差的絕對(duì)值小于2,則稱(chēng)之為“擬合效果好”,否則為“擬合效果不好”.根據(jù)以上信息完成下列2×2聯(lián)表,并分析是否有95%以上的把握說(shuō)擬合效果與選取數(shù)據(jù)是否包含氧化物日均濃度最值有關(guān).

預(yù)測(cè)效果好

擬合效果不好

合計(jì)

數(shù)據(jù)有包含最值

5

數(shù)據(jù)無(wú)包含最值

4

合計(jì)

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(其中).

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(1)直線(xiàn)過(guò)且與曲線(xiàn)相切,求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;

(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍.

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