已知△ABC中,a=2
3
,若
m
=(-cos
A
2
,sin
A
2
)
,
n
=(cos
A
2
,sin
A
2
)
滿足
m
n
=
1
2
.(1)若△ABC的面積S=
3
,求b+c的值.(2)求b+c的取值范圍.
分析:(1)由
m
n
的坐標(biāo),及
m
n
=
1
2
,利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式,再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,得出cosA的值,由A為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù),再由a的值,利用余弦定理列出關(guān)于b與c的關(guān)系式,整理后記作①,由三角形的面積及sinA的值,利用三角形的面積公式求出bc的值,把bc的值代入①即可求出b+c的值;
(2)把(1)得到的關(guān)系式①配方變形后,根據(jù)完全平方式大于等于0,變形后得出b+c小于等于4,再利用三角形的兩邊之和小于第三邊得到b+c大于a,由a的值得出b+c的范圍,最后由b+c的兩區(qū)間求出公共部分,即可得到b+c的取值范圍.
解答:解:(1)∵
m
=(-cos
A
2
,sin
A
2
)
,
n
=(cos
A
2
,sin
A
2
)
,且
m
n
=
1
2
,
-cos2
A
2
+sin2
A
2
=
1
2
,即cosA=-
1
2
,
又A為三角形的內(nèi)角,
∴A=120°,又a=2
3

由余弦定理得:b2+c2-2bc(-
1
2
)=(2
3
)
2
,即(b+c)2-bc=12①,
S=
1
2
bcsinA
=
3
,sinA=
3
2

∴bc=4,
將bc=4代入①得:b+c=4;
(2)由(1)得到的(b+c)2-bc=12變形得:
3
4
(b+c)2+
1
4
(b-c)2=12,
3
4
(b+c)2=12-
1
4
(b-c)2≤12,
∴(b+c)2≤16,即b+c≤4,
又b+c>a=2
3

則b+c的取值范圍是(2
3
,4].
點評:此題考查了平面向量的數(shù)量積運算,二倍角的余弦函數(shù)公式,余弦定理,三角形的面積公式,完全平方公式的運用,以及三角形的邊角關(guān)系,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,A=60°,a=
15
,c=4,那么sinC=
2
5
5
2
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8).
(1)求AB邊上的高所在的直線方程;
(2)直線l∥AB,與AC,BC依次交于E,F(xiàn),S△CEF:S△ABC=1:4.求l所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,a=2,b=1,C=60°,則邊長c=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
(AB)2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(Ⅰ)判斷△ABC的形狀,并求t=sinA+sinB的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對任意的滿足題意的a,b,c都成立,求k的取值范圍.

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