Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點(diǎn)，其右準(zhǔn)線l與x軸交于T點(diǎn)，直線BF交橢圓于C點(diǎn)，P為橢圓上弧AC上的一點(diǎn)．

(1) 求證：A、C、T三點(diǎn)共線；

(2) 如果，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

 (1) 證明：設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0) ①，則A(0，b)，B(0，－b)，T.

AT：＝1 ②，BF：＋＝1 ③，解得交點(diǎn)C，

代入①得＝1，滿足①式，則C點(diǎn)在橢圓上，即A、C、T三點(diǎn)共線．

(2) 解：過C作CE⊥x軸，垂足為E，

則△OBF∽△ECF.

∵，CE＝b，EF＝c，則C，代入①得＝1，∴ a²＝2c²，b²＝c².設(shè)P(x₀，y₀)，則x₀＋2y＝2c².此時C，AC＝ c，S_△ABC＝·2c·＝c²，

直線AC的方程為x＋2y－2c＝0，P到直線AC的距離為d＝

S_△APC＝d·AC＝··c.只須求x₀＋2y₀的最大值，

(解法1)∵ (x₀＋2y₀)²＝x＋4y＋2·2x₀y₀≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c²，∴ x₀＋2y₀≤c.當(dāng)且僅當(dāng)x₀＝y(tǒng)₀＝c時，(x₀＋2y₀)_max＝c.

(解法2)令x₀＋2y₀＝t，代入x＋2y＝2c²得(t－2y₀)²＋2y－2c²＝0，即6y－4ty₀＋t²－2c²＝0.Δ＝(－4t)²－24(t²－2c²)≥0，得t≤c.當(dāng)t＝c，代入原方程解得x₀＝y(tǒng)₀＝c.

∴ 四邊形的面積最大值為，∴ c²＝1，a²＝2，b²＝1，此時橢圓方程為＋y²＝1.P點(diǎn)坐標(biāo)為.