Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．

（1）求證：BE∥平面PAD；

（2）若AP＝2AB，求證：BE⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）欲證BE∥平面PAD，而BE平面EBM，可先證平面EBM∥平面APD，取CD的中點M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形∴EM∥PD，BM∥AD BM∩EM=M，滿足面面平行的判定；（2）取PD的中點F，連接FE，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)，及等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC

試題解析：（1）取PD的中點F，連結(jié)AF，FE，

又∵E是PC的中點，

∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝，

由條件知AB∥DC，且AB＝，∴ EFAB，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，

又AF平面PAD，BE平面PAD，∴BE∥平面PAD．

（2）由（1）FE∥DC，BE∥AF，

又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，

在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F為PD的中點，∴AF⊥PD，

又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC，

又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC．