Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=x-1被圓心在原點O的圓截得的弦長為$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若點A在橢圓2x²+y²=4上，點B在直線x=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓C的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出圓O的半徑為r，利用圓心到直線的距離d與弦長的一半組成直角三角形，利用勾股定理求出半徑，即可寫出圓的方程．
（Ⅱ）設出點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB，用坐標表示后把t用含有A點的坐標表示，然后分A，B的橫坐標相等和不相等寫出直線AB的方程，然后由圓x²+y²=2的圓心到AB的距離和圓的半徑相等說明直線AB與圓x²+y²=2相切．

解答 解：（Ⅰ）設圓O的半徑為r，則圓心O到直線y=x-1的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又直線被圓O所截得的弦長為$\sqrt{6}$，
所以r²=$\frac{1}{2}$+$\frac{6}{4}$=2，
所以圓O的方程為x²+y²=2．
（Ⅱ）直線AB與圓x²+y²=2相切．
證明如下：
設點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
當x₀=t時，y₀=-$\frac{{t}^{2}}{2}$，代入橢圓C的方程，得t=±$\sqrt{2}$．
故直線AB的方程為x=±$\sqrt{2}$，圓心O到直線AB的距離d=$\sqrt{2}$．
此時直線AB與圓x²+y²=2相切．
當x₀≠t時，直線AB的方程為y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圓心O到直線AB的距離d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$=$\frac{|2{x}_{0}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}}$=$\sqrt{2}$．
此時直線AB與圓x²+y²=2相切．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，考查了圓與圓錐曲線的綜合，訓練了由圓心到直線的距離判斷直線和圓的位置關系，是中檔題．