Question

一家公司計(jì)劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為1萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件需要再投入2萬(wàn)元，設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品x萬(wàn)件并全部銷售完，每萬(wàn)件的銷售收入為4-x萬(wàn)元，且每萬(wàn)件國(guó)家給予補(bǔ)助2e-

2elnx

x

-

1

x

萬(wàn)元．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e是一個(gè)常數(shù)）
（Ⅰ）寫出月利潤(rùn)f（x）（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式
（Ⅱ）當(dāng)月產(chǎn)量在[1，2e]萬(wàn)件時(shí)，求該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值（萬(wàn)元）及此時(shí)的月生成量值（萬(wàn)件）．（注：月利潤(rùn)=月銷售收入+月國(guó)家補(bǔ)助-月總成本）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由月利潤(rùn)=月銷售收入+月國(guó)家補(bǔ)助-月總成本，即可列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于：月利潤(rùn)=月銷售收入+月國(guó)家補(bǔ)助-月總成本，可得

f(x)=x(4-x+2e- 2elnx x - 1 x -2)-1 =-x2+2(e+1)x-2elnx-2(x＞0)

（Ⅱ）f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2的定義域?yàn)閇1，2e]，
且f′(x)=-2x+2(e+1)-

2e

x

=-

2(x-1)(x-e)

x

(x＞0)
列表如下：

x	（1，e）	e	（e，2e]
f'（x）	+	0	-
f（x）	增	極大值f（e）	減

由上表得：f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2在定義域[1，2e]上的最大值為f（e）．
且f（e）=e²-2．即：月生產(chǎn)量在[1，2e]萬(wàn)件時(shí)，該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值為f（e）=e²-2，此時(shí)的月生產(chǎn)量值為e（萬(wàn)件）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等知識(shí)，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．