如果存在常數a使得數列{an}滿足：若x是數列{an}中的一項，則a-x也是數列{an}中的一項，稱數列{an}為“兌換數列”，常數a是它的“兌換系數”．
（1）若數列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求m和a的值；
（2）已知有窮等差數列bn的項數是n（n≥3），所有項之和是B，求證：數列bn是“兌換數列”，并用n和B表示它的“兌換系數”；
（3）對于一個不少于3項，且各項皆為正整數的遞增數列{cn}，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論并說明理由．
【答案】
分析：（1）根據數列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是該數列的項，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
（2）由“兌換數列”的定義證明數列{b
n}是“兌換數列”，即證對數列{b
n}中的任意一項b
i（1≤i≤n
），a-b
i=b
1+（n
-i）d=b
n0+1-i∈{b
n}，從而可求數列{b
n}所有項之和；
（3）假設存在這樣的等比數列{c
n}，設它的公比為q（q＞1），可知數列{c
n}必為有窮數列，不妨設項數為n項，則c
i+c
n+1-i=a（1≤i≤n），再分類討論，即可得到結論．
解答：（1）解：因為數列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數”為a的“兌換數列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是該數列的項，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1
故a-m=1，a-4=2，即a=6，m=5．
（2）證明：設數列{b
n}的公差為d，
因為數列{b
n}是項數為n
項的有窮等差數列
若b
1≤b
2≤b
3≤…≤b
n0，則a-b
1≥a-b
2≥a-b
3≥…≥a-b
n0，
即對數列{b
n}中的任意一項b
i（1≤i≤n
），a-b
i=b
1+（n
-i）d=b
n0+1-i∈{b
n}
同理可得：b
1≥b
2≥b
3≥…≥b
n0，a-b
i=b
1+（n
-i）d=b
n0+1-i∈{b
n}也成立，
由“兌換數列”的定義可知，數列{b
n}是“兌換數列”；
又因為數列{b
n}所有項之和是B，所以B=
=
，即a=
；
（3）解：假設存在這樣的等比數列{c
n}，設它的公比為q（q＞1），
因為數列{c
n}為遞增數列，所以c
1＜c
2＜c
3＜…＜c
n，則a-c
1＞a-c
2＞a-c
3＞…＞a-c
n，
又因為數列{c
n}為“兌換數列”，則a-c
i∈{c
n}，所以a-c
i是正整數
故數列{c
n}必為有窮數列，不妨設項數為n項，則c
i+c
n+1-i=a（1≤i≤n）
①若n=3，則有c
1+c
3=a，c
2=
，又
=c
1c
3，由此得q=1，與q＞1矛盾
②若n≥4，由c
1+c
n=c
2+c
n-1，得c
1-c
1q+c
1q
n-1-c
1q
n-2=0
即（q-1）（1-q
n-2）=0，故q=1，與q＞1矛盾；
綜合①②得，不存在滿足條件的數列{c
n}．
點評：本題考查新定義，考查學生的閱讀能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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