Question

已知函數(shù)f（x）=

a|x|

ex-1

（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x³-ax²+2，若x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=

ax ex-1 ，x≥0 -ax ex-1 ，x＜0

，分x＜0與x≥0，去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)討論f（x）的單調(diào)性，從而可求得f（x）的極值；
（2）x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，先有

f(-1)≤g(-1) f(1)≤g(1)

，解得a≤-

2

e2+1

＜0，所求a的取值在此范圍上討論即可．可分x∈[-1，0]與x∈（0，1]兩種情況討論，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-1（x²-ax+1），利用導(dǎo)數(shù)判定其單調(diào)性，從而解相應(yīng)的a的不等式組即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=

ax ex-1 ，x≥0 -ax ex-1 ，x＜0

，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

-ax

ex-1

，顯然是減函數(shù)；
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=

a(1-x)

ex-1

，x∈[0，1]時(shí)，f′（x）≥0，x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）≤0．
綜上，f（x）分別在x∈（-∞，0），x∈[1，+∞）時(shí)是減函數(shù)，在x∈[0，1]時(shí)增函數(shù)，
∴f（x）_極小值=f（0）=0，f（x）_極大值=f（1）=a．
（2）x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，先有

f(-1)≤g(-1) f(1)≤g(1)

，解得a≤-

2

e2+1

＜0，所求a的取值在此范圍上討論即可．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0≤2=g（0）恒成立；
當(dāng)（0，1]時(shí)，只須

ax

ex-1

≤x³-ax²+x，即a≤e^x-1（x²-ax+1），（a≤-

2

e2+1

）恒成立，
設(shè)h（x）=e^x-1（x²-ax+1），在x∈（0，1]時(shí)是增函數(shù)，

a≤- 2 e2+1 h(x)＞h(0)= 1 e

，解得a≤-

2

e2+1

；
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，同理化得-

ax

ex-1

≤x³-ax²+x，
只須-a≥e^x-1（x²-ax+1）（a≤-

2

e2+1

）恒成立，
∵h(yuǎn)（x）=e^x-1（x²-ax+1），
∴h′（x）=e^x-1（x+1）[x-（a-1）]＞0，
∴h（x）在[-1，0）上是增函數(shù)．
得h（x）＜h（0）=

1

e

，此時(shí)，

a≤- 2 e2+1 -a≥ 1 e

，解得a≤-

1

e

；
綜上，x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，a的取值范圍是a≤-

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查導(dǎo)數(shù)法判定函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．