已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論;

(3)試討論的單調(diào)性.

 

【答案】

(1). (2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

(3)上為減函數(shù);為減函數(shù).

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和定義域單調(diào)性的綜合運(yùn)用。

(1)要使得原式有意義則依題意 得

那么可以得到函數(shù)的 定義域。

(2)因?yàn)橛謱?duì)定義域內(nèi)的任意

,可知函數(shù)為奇函數(shù)。

(3)由(2)知要判斷其單調(diào)性只需要確定在上的單調(diào)性即可.

設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且.

,變形定號(hào),下結(jié)論。

解:(1)依題意 得

,解得﹣1<x<1,且x≠0,即定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849447538948785_DA.files/image001.png">.  4分

(2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

證明如下:

易知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又對(duì)定義域內(nèi)的任意

,故函數(shù)f(x)是奇函數(shù).   8分

(3)由(2)知要判斷其單調(diào)性只需要確定在上的單調(diào)性即可.

設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且.

=

.

∵0<x<x<1 ,∴,由,

,即.

上為減函數(shù);

同理,可證上也為減函數(shù). 12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求函數(shù)的定義域 ;

(2)若函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.

 

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(1)求f(x)的定義域和值域;
(2)證明函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù).

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已知函數(shù)
(1)求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x,使得成立,若存在求出x;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知函數(shù)

(1)求的定義域;

(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并予以證明;

(3)若,猜想之間的關(guān)系并證明.

 

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(本小題滿分12分)

已知函數(shù) ,

  (1)求函數(shù)的定義域;(2)證明:是偶函數(shù);

  (3)若,求的取值范圍。

 

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