Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=x+2與x軸、y軸分別交于M、N兩點，點P在圓（x-a）²+y²=2（a＞0）上運動，若∠MPN恒為銳角，則實數(shù)a的取值范圍是$a＞\sqrt{7}-1$．

Answer 1

分析 設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為A，得到MN的中點A（-1，1）；點P與M，N構(gòu)成∠MPN恒為銳角，則點P恒在圓A之外，又兩個圓半徑相等，只要兩圓外離，得到圓心距與半徑的關(guān)系等式求得a．

解答 解：設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為A，則M（-2，0），N（0，2），所以中點A（-1，1）；
點P與M，N構(gòu)成∠MPN恒為銳角，則點P恒在圓A之外，又兩個圓半徑相等，所以兩圓外離，
所以（a+1）²+1²＞（2$\sqrt{2}$）²，
因為a＞0，解得$a＞\sqrt{7}-1$，
所以a的取值范圍是$a＞\sqrt{7}-1$，
故答案為$a＞\sqrt{7}-1$．

點評 本題考查了直線與圓和圓與圓的位置關(guān)系；解得本題的關(guān)鍵是∠MPN恒為銳角的等價條件．