Question

14．在如圖所示的平面圖形中，已知CD=$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，∠ACD=105°，∠CDB=15°，∠BDA=30°．
（Ⅰ）求△BCD的面積；
（Ⅱ）求AC，AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠BCD=150°，∠DBC=15°，從而BC=DC=$\sqrt{2}$，△BCD的面積${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DC×sin∠BCD$，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）先求出∠DAC=30°，∠ADC=45°，由此利用正弦定理能求出AC，利用余弦定理能求出出AB．

解答 解：（Ⅰ）∵CD=$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，∠ACD=105°，∠CDB=15°，∠BDA=30°．
∴∠BCD=105°+45°=150°，∠DBC=15°，
∴BC=DC=$\sqrt{2}$，
∴△BCD的面積${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DC×sin∠BCD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∠DAC=180°-（15°+30°）-105°=30°，∠ADC=30°+15°=45°，
由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠DAC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴AC=$\frac{DC×sin∠ADC}{sin∠DAC}$=$\frac{\sqrt{2}×sin45°}{sin30°}$=2．
由余弦定理得：
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+{BC}^{2}-2×AC×BC×cos∠ACB}$=$\sqrt{4+2-2×2×\sqrt{2}×cos45°}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形面積的求法，考查三角形邊長的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．