橢圓上的任意一點M（除短軸端點除外）與短軸兩個端點B1，B2的連線交x軸于點N和K，則|ON|+|OK|的最小值是    ．
【答案】分析：求出橢圓上下頂點坐標，設M（xo，yo），N（xm，0），K（xn，0），利用三點共線求出K，N的橫坐標，利用M在橢圓上，推出|ON|•|OK|=a2，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．
解答：解：由橢圓方程知B1（0，b），B2（0，-b），
另設M（xo，yo），K（xk，0），N（xn，0）（2分）
由M，N，B1三點共線，知 =（4分）
所以xn=（6分）
同理得xk=（9分）
|OK|•|ON|=||…①，
又M在橢圓上所以 即b2-y=代入①得              10分
|OK|•|ON|=||=a2（12分）
利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2=2a，當且僅當|OK|•|ON|取號，
故|OK|•|ON|的最小值為2a．
故答案為：2a．
點評：本題是中檔題，思路明確重點考查學生的計算能力，也可以由向量共線，或由直線方程截距式等求得點M坐標．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•河東區(qū)二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）設F是橢圓的一個焦點，M橢圓上的任意一點，|MF|的最大值與最小值的算術平均等于4，橢圓的頂點A與N（-2，0）關于直線x+y=0對稱，求此橢圓方程；
（2）設點P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上異于長軸端點的任意一點，F(xiàn)1、F2為兩焦點，記∠F1PF2=θ，求證|PF1|•|PF2|=
2b2
1+cosθ
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•重慶一模）給出以下4個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=（1，-2）平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，則使x-y取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個；
③設A、B為兩個定點，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動點P的軌跡為雙曲線；
④若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點，延長F1P到點M，使|F2P|=|PM|，則點M的軌跡是圓．
其中所有真命題的序號為
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西師大附中2012屆高三5月模擬考試數(shù)學理科試題 題型：044

已知橢圓C：的離心率為，過橢圓C的右焦點F且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點，N為弦AB的中點，O為坐標原點．

(1)求直線PN的斜率kON；

(2)對于橢圓上的任意一點M，試證：總存在，使得等式＝cos·＋sin·成立．

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